Tetraedro regular
Tetraedro regular é um sólido geométrico formado por quatro faces triangulares regulares e congruentes, ou seja, quatro triângulos equiláteros iguais. Os ângulos poliédricos também são congruentes entre si.
Outra maneira de compreender essa figura espacial é visualizar uma pirâmide de base triangular em que todas as arestas possuem a mesma medida.
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Resumo sobre o tetraedro regular
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Tetraedro regular é um sólido geométrico cujas faces são triângulos equiláteros congruentes entre si.
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O tetraedro regular é formado por 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices.
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A altura do tetraedro regular é a distância entre a base e o vértice oposto.
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A área do tetraedro regular é a soma das áreas dos triângulos equiláteros que formam as faces.
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O volume do tetraedro regular é um terço do produto entre a área da base e a altura.
Características do tetraedro regular
As principais características do tetraedro regular são:
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4 faces formadas por triângulos equiláteros congruentes;
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6 arestas congruentes;
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4 vértices.
Outros elementos importantes do tetraedro regular são o apótema e o apótema da base.
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Apótema é a altura da face lateral. No caso do tetraedro regular, o apótema é a altura de um triângulo equilátero.
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Apótema da base é o apótema de um triângulo equilátero. Assim, é a distância entre o centro do triângulo da base e o ponto médio de uma de suas arestas.
Altura do tetraedro regular
No tetraedro regular, a distância entre a base e o vértice oposto é chamada de altura. No tetraedro ABCE abaixo, o segmento AE de medida h é perpendicular ao plano BCE. Assim, AE é a altura do tetraedro ABCE.
Mas como encontrar quanto mede a altura AE? Ou seja, qual o valor de h?
Sendo G o ponto médio da aresta CD, observe que podemos construir um triângulo retângulo utilizando a altura AE como um dos catetos, o apótema da base EG como outro cateto e o apótema AG do tetraedro como outro cateto.
Se a é a medida das arestas do tetraedro ABCD, consequentemente:
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, pois AG é altura do triângulo equilátero ACD. -
, pois E é baricentro e ortocentro do triângulo equilátero BCD e, portanto, mede um terço da altura BG da base.
Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AEG:
Podemos racionalizar ao multiplicar a expressão anterior pela fração
Saiba mais: Pontos notáveis do triângulo — mediana, baricentro, ortocentro etc.
Área do tetraedro regular
A área de um tetraedro regular é a medida de sua superfície. Como as quatro faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros, a área A desse sólido é dada por
em que a é a medida da aresta do tetraedro regular.
Volume do tetraedro regular
O volume V de um tetraedro regular é a medida do espaço ocupado por este sólido. Essa medida vale um terço do produto entre a área da base e a altura. Lembre-se que a área da base corresponde à área de um triângulo equilátero.
Simplificando os termos
Planificação do tetraedro regular
Planificando o tetraedro regular, obtemos a seguinte figura:
Tetraedro regular x tetraedro irregular
Enquanto as faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros congruentes, um tetraedro irregular possui outros tipos de faces triangulares. Como consequência, as expressões que encontramos para altura, área e volume do tetraedro regular não são válidas para um tetraedro irregular.
Exercícios resolvidos sobre tetraedro regular
Questão 1
Considere um tetraedro regular em que cada aresta mede 2 cm. Assim, é correto afirmar que a área total desse sólido vale
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Alternativa B
Como as quatro faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, a área total é dada por
Se a = 2 cm, então
Questão 2
Ao estudar um sólido geométrico, Ana fez duas observações.
I. Este sólido possui 4 faces iguais.
II. As faces desse sólido são triângulos equiláteros.
O nome do sólido descrito por Ana em I e II é
a) tronco de pirâmide.
b) hexaedro.
c) tetraedro regular.
d) prisma triangular.
e) cone.
Resolução:
Alternativa C
As descrições de Ana se referem ao tetraedro regular, um sólido cujas quatro faces são triângulos equiláteros congruentes.