Tronco de cone

Conhecemos como tronco de um cone o sólido geométrico formado pela parte inferior de um cone quando realizamos uma secção desse sólido, em uma altura qualquer, paralela a sua base. Quando realizamos a secção, dividimos a figura em duas, uma delas é um cone menor e a outra é um tronco de um cone. Este possui duas bases formadas por círculos de raios distintos.

Assim como no cone, existem elementos importantes no tronco do cone, como a geratriz, a altura, e o raio de cada uma das suas bases. O tronco de cone possui fórmulas específicas para que seja possível calcular a sua área total e seu volume.

Leia também: Quais são os sólidos de Platão?

Resumo sobre o tronco de um cone

• O tronco de cone é um sólido geométrico formado pela parte inferior da secção de um cone por um plano paralelo a sua base.

• Para calcular a área total do tronco de um cone, utilizamos a fórmula:

A_T = A_B + A_b + A_l

A_T → área total

A_B → área da base maior

A_b → área da base menor

A_L → área lateral

• Para calcular o volume do tronco de um cone, utilizamos a fórmula:

Quais são os elementos do tronco de um cone?

O tronco de um cone é um sólido geométrico encontrado pela secção transversal de um cone. Quando realizamos a secção paralela à base de um cone, é possível extrair dois sólidos, sendo um cone menor, da parte superior, e um tronco de um cone, da parte inferior.

A principal característica de um tronco de cone é que ele possui duas bases circulares, uma delas conhecida como base maior, e a outra, como base menor. Assim como o cone, o tronco de cone possui elementos importantes que nos ajudam a calcular sua área e seu volume, são eles: a altura, o raio da base maior, o raio da base menor, e a geratriz.

h → altura do tronco de cone

r → raio da base menor

R → raio da base maior

g → geratriz do tronco de cone

Veja também: Quais são os elementos do círculo e da circunferência?

• Geratriz do tronco de cone

A geratriz do tronco de um cone é utilizada para calcular a área total do tronco de um cone. Quando estudamos o cone, utilizamos o teorema de Pitágoras para calcular sua geratriz, e no tronco de um cone a ideia é muito parecida. É possível encontrar um triângulo retângulo que relacione a altura do tronco de um cone, os raios e a geratriz:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos que:

Exemplo:

Qual é a geratriz do tronco de um cone com raios medindo 13 cm e 5 cm e que possui 6 cm de altura?

Para encontrar a geratriz do tronco de um cone, temos que:

h = 6

R = 13

r = 5

Substituindo na fórmula:

g² = h² + (R – r)²

g² = 6² + (13 – 5)²

g² = 36 + 8²

g² = 36 + 64

g² = 100

g = √100

g = 10 cm

Planificação do tronco de um cone

Conhecemos como planificação a representação bidimensional do sólido geométrico. Fazendo a representação do tronco de um cone, é possível perceber que esse sólido é formado por bases que possuem formato de círculo, e também pela sua área lateral.

Conhecendo a sua planificação, é possível falar em área total do tronco de cone.

Leia também: Quais as diferenças entre as figuras planas e as figuras espaciais?

Área total do tronco de um cone

Conhecendo a planificação do tronco de um cone, é possível calcular o valor da área total desse sólido geométrico. Sabemos que ele é composto por duas bases no formato de um círculo e também da sua área lateral. A área total do tronco de um cone é a soma das áreas dessas três regiões:

A_T → área total

A_B → área da base maior

A_b → área da base menor

A_L → área lateral

Sabemos que as bases são círculos, logo, para calcular a área da base, utilizamos a fórmula da área de um círculo; já a área lateral é parte de um arco. As áreas são calculadas pelas seguintes fórmulas:

Desse modo, é possível reescrever a fórmula para o cálculo da área total:

Exemplo:

Calcule a área total do tronco de um cone que possui altura igual a 15 cm, raio da base maior igual a 14 cm e raio da base menor ou igual a 6 cm. (use π = 3)

Dados:

h = 15

R = 14

r = 6

π = 3

Primeiro encontraremos o valor da área da base maior:

A_B = πR²

A_B = 3 · 14²

A_B = 3 · 196

A_B = 588 cm²

Agora calcularemos a área da base menor:

A_b = πr²

A_b = 3 · 6²

A_b = 3 · 36

A_b = 108 cm²

Por fim, para calcular a área total e a lateral, é necessário calcular a geratriz, então, temos que:

g² = 15² + (14 – 6)²
g² = 15² + 8²
g² = 225 + 64
g² = 289
g = √289
g = 17

A_l = πg (R + r)
A_l = 3 · 17 (14 + 6)
A_l = 51 · 20
A_l = 51 · 20
A_l = 1020 cm²

A_T = A_B + A_b + A_l
A_T = 588 + 108 + 1020 = 1716 cm²

• Videoaula sobre área total do tronco de um cone

Volume do tronco de um cone

Para calcular o volume do tronco de um cone, utilizamos a fórmula:

Exemplo:

Calcule o volume do tronco de um cone que possui altura igual a 15 cm, raio da base maior igual a 14 cm e raio da base menor igual a 6 cm. (use π = 3)

• Videoaula sobre volume do tronco de um cone

Exercícios resolvidos sobre tronco de um cone

Questão 1 - (EsPCEx) A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz.

A medida da altura desse tronco de cone é

A) 13 cm

B) 12 cm

C) 11 cm

D) 10 cm

E) 9 cm

Resolução

Alternativa B

Para calcular a altura, vamos utilizar a fórmula da geratriz do tronco de um cone, que relaciona os seus raios à sua altura e à própria geratriz.

g² = h² + (R – r)²

Sabemos que:

g = 13

R = 11

r = 6

Então, temos que:

13² = h² + (11 – 6)²

169 = h² + 5²

169 = h² + 25

169 – 25 = h²

144 = h²

h = √144

h = 12 cm

Questão 2 - (Enem) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são

A) um tronco de cone e um cilindro.

B) um cone e um cilindro.

C) um tronco de pirâmide e um cilindro.

D) dois troncos de cone.

E) dois cilindros.

Resolução

Alternativa D

Quando analisamos a imagem, é possível perceber que, no centro da forma, temos um tronco de um cone. Além disso, se analisarmos a forma por si só, ela também tem o formato de um tronco de cone, então, temos na imagem dois troncos de cone.