Volume da pirâmide

Para calcular o volume de uma pirâmide, é importante reconhecer que existem tipos diferentes de pirâmide, pois ela pode possuir a base formada por qualquer polígono, como um triângulo, um quadrado ou um hexágono. O volume da pirâmide depende diretamente da área da sua base e da sua altura, então, o volume de uma pirâmide qualquer é igual à área da base vezes a altura da pirâmide dividido por três.

Como a base pode ser qualquer polígono, então, para calcular sua área, é necessário antes reconhecer por qual polígono a base é formada. Por exemplo, a área da base de uma pirâmide de base quadrada é calculada utilizando-se a fórmula da área de um quadrado. Muitas vezes se compara o volume da pirâmide ao volume de um prisma. Se um prisma e uma pirâmide possuem mesma base e mesma altura, então, o volume do prisma será três vezes o volume da pirâmide.

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Resumo sobre o volume da pirâmide

• Para calcular o volume da pirâmide, utilizamos a fórmula:

A_b → área da base

h → altura

• A área da base da pirâmide é calculada de acordo com o polígono da sua base.

• O volume de um prisma é três vezes o volume da pirâmide de mesma altura e área da base.

Videoaula sobre volume da pirâmide

Qual a fórmula do volume da pirâmide?

Para calcular o volume da pirâmide, precisamos conhecer dois elementos importantes: a altura e a base.

O volume da pirâmide pode ser calculado por uma fórmula que depende diretamente do polígono que forma a base. Para calcular o volume de uma pirâmide qualquer, utilizamos a fórmula a seguir:

V → volume

A_b → área da base da pirâmide

h → altura da pirâmide

• Pirâmide de base quadrada

Quando a pirâmide possui a base quadrada, sabemos que a área da sua base é calculada pela fórmula da área de um quadrado, ou seja, A_b = l².

Exemplo:

Calcule o volume da pirâmide a seguir, sabendo que a sua base é formada por um quadrado:

Como a base da pirâmide é um quadrado, então, a área da base é dada por l².

A_b = l²

A_b = 6²

A_b = 36 m²

Agora que conhecemos a área da base e a altura, é possível calcular o volume da pirâmide:

Assim, o volume da pirâmide é de 120 m³

• Pirâmide de base hexagonal

Quando a base de uma pirâmide é um hexágono regular, utilizamos para calcular sua área a fórmula da área do hexágono.

Exemplo:

Calcule o volume da pirâmide a seguir:

Como a sua base é um hexágono regular de lados medindo 2 cm, calcularemos sua área da base assim:

Conhecendo a área da base, podemos calcular o volume da pirâmide:

Dessa forma, o volume da pirâmide é de 13√3 cm³.

• Pirâmide de base triangular

Assim como as pirâmides mostradas anteriormente, em uma pirâmide de base triangular, utilizamos a fórmula da área de um triângulo para encontrar a área da base.

Exemplo:

Sabendo que a pirâmide a seguir possui base triangular, em que a altura relativa da base que mede 4 cm é de 2 cm, calcule o volume da pirâmide.

Calculando a área da base da pirâmide, temos que:

Conhecendo a área da base, calcularemos o volume:

Assim, o volume da pirâmide é de, aproximadamente, 6,67 cm³.

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Qual a relação entre volume da pirâmide e volume do prisma?

Quando comparamos os volumes da pirâmide e do prisma, é possível percebermos uma relação entre esses dois sólidos geométricos. Quando eles possuem a mesma área da base e mesma altura, o volume do prisma sempre será igual a 3 vezes o volume da pirâmide, ou, então, podemos dizer que o volume da pirâmide é igual a 1/3 do volume do prisma.
 

Analisando as fórmulas, é possível perceber que o volume da pirâmide é igual ao volume do prisma dividido por 3, ou que o volume do prisma é igual a 3 vezes o volume da pirâmide. Essa relação só é válida quando a área da base e a altura desses sólidos geométricos forem as mesmas.

Exercícios resolvidos sobre volume da pirâmide

Questão 1- (Enem) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

A) 156 cm³

B) 189 cm³

C) 192 cm³

D) 216 cm³

E) 540 cm³

Resolução

Alternativa B

Vamos calcular a diferença entre a pirâmide maior (V_M) e a pirâmide menor (V_m).

A distância entre os blocos que formam a pirâmide é de 1 cm de distância, então, a altura da pirâmide maior é 19 – 3 = 16 cm.

A base é um quadrado de lado igual a 6 cm, então, temos que:

A_b = l² = 6² = 36

Desse modo, o volume da pirâmide maior é:

Agora calcularemos o volume da pirâmide menor.

A sua altura é encontrada quando dividimos 16 por 4, 16: 4 = 4 cm. Isso quer dizer que cada bloco mede 4 cm. Como a pirâmide menor é formada por um único bloco, sua altura é de 4 cm.

Fazendo o mesmo com a aresta, temos que 6 : 4 = 1,5.

Então, a área da base da pirâmide menor é 1,5² = 2,25. Calculando o volume, temos que:

Agora encontramos a diferença entre os volumes:

192 – 3 = 189 cm³

Questão 2 - (OMNI) Seja uma pirâmide hexagonal de área da base igual a 5 m² e altura igual a 12 m, o volume dela é de:

A) 20 m³

B) 20 m²

C) 60 m³

D) Nenhuma das alternativas

Resolução

Alternativa A

Dados

A_b = 5 m²

h = 12 cm

Como já conhecemos a área da base, basta calcular o volume da pirâmide: