Equação do 2º grau

As equações do 2º grau são do tipo ax² + bx + c = 0. A equação do 2º grau possui, no máximo, duas soluções, e para encontrá-las utiliza-se a fórmula de Bhaskara.

Para resolver uma equação do 2º grau, utiliza-se a fórmula de Bhaskara

Equação do 2º grau é uma equação do tipo , em que a, b e c são número reais, conhecidos como coeficientes da equação. A equação do 2º grau pode ser completa, se os seus coeficientes são diferentes de 0, e incompleta, caso o coeficiente b ou c seja igual a 0.

Para resolver uma equação do 2ºgrau, utiliza-se diferentes métodos, o principal deles é a fórmula de Bhaskara, mas pode-se resolvê-la também por soma e produto. A equação do 2º grau pode ter duas soluções reais, uma solução real ou nenhuma solução real, e, para verificar a quantidade de soluções, calcula-se o valor do Δ.

Resumo sobre a equação do 2º grau

A equação do 2º grau é do tipo ax² + bx + c = 0.
Pode ser completa, se os seus coeficientes forem todos diferentes de zero, e incompleta, caso contrário.
Para encontrar suas soluções, calcula-se o discriminante Δ e depois utiliza-se a fórmula de Bhaskara.
- Se Δ > 0, a equação possui duas soluções reais.
- Se Δ = 0, a equação possui uma solução real.
- Se Δ < 0, a equação não possui solução real.
A fórmula de Bhaskara é:

Pode-se resolver a equação do 2º grau pela operação soma e produto.

Videoaula sobre equação do 2º grau

O que é uma equação do 2º grau?

Conhece-se como equação do 2º grau as equações do tipo , em que , e a, b e c são números reais conhecidos como coeficientes da equação do 2º grau.

Exemplos:

2x² + 3x – 4 = 0

x² + 2x = 0

– x² + 14 = 0

Quais são os tipos de equação do 2º grau?

Uma equação do 2º grau pode ser completa ou incompleta. Ela é completa quando possui todos os coeficientes diferentes de 0, e incompleta, caso o coeficiente b ou o coeficiente c sejam iguais a 0. O coeficiente a não pode ser igual a 0, pois, caso fosse, a equação não seria do 2º grau.

As equações incompletas se dividem em três casos, são eles, quando b = 0, quando c = 0 e quando b e c = 0. Veja cada uma deles a seguir.

Equação completa: quando os coeficientes a, b e c são diferentes de 0. Exemplos:

x² + 2x – 13 = 0

2x² – x + 4 = 0

– 4x² + 14x – 1 = 0

Equação incompleta: quando os coeficientes b ou c são iguais a 0.
- Equações do tipo ax² + bx = 0: quando c = 0, a equação incompleta não possuirá o coeficiente c, conhecido também como termo independente da equação. Exemplos:

2x² + 5x = 0

-x² + x = 0

2x² + 2x = 0

- Equações do tipo ax² + c = 0: quando b = 0, a equação do 2º grau não possuirá o termo bx.

2x² – 4 = 0

-x² + 9 = 0

x² – 5 = 0

- Equações do tipo ax² = 0: quando b e c são iguais a 0, a equação não possuirá o termo bx nem o termo c. Só possuirá uma única solução, x = 0.

Como resolver a equação do 2ºgrau?

As soluções de uma equação do 2º grau, conhecidas também como raízes da equação, são os valores de x que fazem com que essa equação seja verdadeira. Uma equação do 2º grau pode ter duas soluções reais, uma solução real, ou até mesmo nenhuma solução real. Veja, a seguir, os dois métodos para calcular as soluções da equação de 2ºgrau, são eles a fórmula de Bhaskara e a operação soma e produto.

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara utiliza os coeficientes a, b e c para encontrar a solução da equação. Para resolver uma equação utilizando a fórmula de Bhaskara, calcula-se o discriminante, representado pela letra grega Δ (delta).

Com o valor do discriminante, é possível saber se a equação possui solução real e quantas soluções são:

Se Δ > 0, então a equação possui duas soluções reais.
Se Δ = 0, então a equação possui uma solução real.
Se Δ < 0, então a equação não possui solução real.

Além do discriminante, é necessário calcular o valor de x pela fórmula de Bhaskara:

Exemplo:

Resolva a equação: x² + 3x – 4 = 0

Para resolver a equação, primeiro, identifica-se os seus coeficientes:

a = 1
b = 3
c = -4

Agora calcula-se o discriminante:

Δ = b² – 4ac

Δ = 3² – 4 · 1 · (-4)

Δ = 9 – 4 · (-4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25

E utiliza-se a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções da equação:

Após simplificar a expressão ao máximo possível, ela será dividida em duas soluções, e . A primeira é considerada a soma entre os números do numerador, e na segunda considera-se a diferença entre os números do numerador:

Então essa equação possui duas soluções, são elas, x = 1 ou x = .

Soma e produto

A operação soma e produto é um método mais intuitivo de resolução. Utiliza-se a soma e o produto quando as soluções da equação de 2º grau são números inteiros, pois, dada uma equação do 2º grau com soluções iguais a e , tem-se que:

Exemplo:

Quais são as raízes da equação x² – 2x – 8 = 0?

Primeiro, deve-se encontrar a, b e c.

a = 1
b = -2
c = -8

Substituindo os valores de a, b e c na fórmula:

Agora, uma lista dos números inteiros em que a multiplicação será igual a -8:

Dos números da lista, verifica-se qual deles satisfaz a soma, ou seja, o par de números cuja soma é 2.

Note que esse par é o único cuja soma é igual a 2, então as soluções dessa equação são -2 e 4.

Sistema de equações do 2º grau

Para encontrar as soluções de um sistema de equação do 2º grau, utiliza-se o método de substituição.

Exemplo:

Resolução:

Primeiro, isola-se uma das incógnitas na equação do 1º grau:

Depois, substitui-se o valor de y na primeira equação:

Agora que foi encontrada uma equação do 2º grau, ela será resolvida utilizando-se um dos métodos apresentados anteriormente. Resolvendo por soma e produto, tem-se que:

Encontrando os números cujo produto é 6:

Note que, das opões que se apresentam, somente 2 e 3 somam 5, logo, as soluções dessa equação são 2 e 3.

Se x = 2, tem-se que:

x + y = 5

2 + y = 5

y = 5 – 2

y = 3

Se y = 3, tem-se que:

3 + y = 5

y = 5 – 3

y = 2

Assim, as soluções são: S = {(2,3); (3,2)}.