Fatoração de polinômio

A fatoração de polinômio é utilizada para reescrevê-lo como uma multiplicação, de forma a simplificá-lo.

Utilizamos os produtos notáveis para realizar a fatoração de polinômios.

A fatoração de polinômios envolve uma série de métodos distintos para reescrever polinômios como o produto de dois ou mais polinômios. Realizamos a fatoração de polinômios quando é necessário simplificar a expressão. Existem diferentes casos de fatoração de polinômios, sendo eles: fator comum em evidência, agrupamento, trinômio quadrado perfeito, diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e diferença de dois cubos. Para cada caso, existem métodos específicos para realizar a fatoração do polinômio.

Resumo sobre fatoração de polinômios

Fatorar um polinômio é representá-lo como a multiplicação entre polinômios.
Utilizamos a fatoração de polinômios para simplificar expressões algébricas.
Os casos de fatoração são:
- fator comum em evidência;
- agrupamento;
- trinômio quadrado perfeito;
- diferença entre dois quadrados;
- soma de dois cubos;
- diferença de dois cubos.

Como se faz a fatoração de polinômio?

Para compreender como é feita a fatoração de polinômio, é importante saber que cada uma das formas de fatoração é realizada de uma maneira específica. Portanto, é fundamental identificar o caso de fatoração, a fim de utilizar o método corretamente. Veja como é feita a fatoração de polinômio em cada caso a seguir.

Fator comum em evidência

A fatoração colocando o fator comum em evidência é utilizada quando é possível encontrar um fator que seja comum a todos os termos do polinômio. Quando isso ocorre, colocamos esse fator em evidência e escrevemos dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada um dos termos por esse fator comum.

Exemplo:

12a²b + 8ab² – 16a³

Resolução:

Perceba que 12, 8 e 16 são todos múltiplos de 4, logo, 4 é fator comum a todos os termos. Além disso, note que, na parte literal, a variável a aparece em todos os termos, e o seu menor expoente é 1. Assim, o fator comum é 4a. Dividindo cada um dos termos pelo fator comum:

12a²b : 4a = 3ab

8ab² : 4a = 2b²

– 16a³ : 4a = – 4a²

Portanto, a forma fatorada desse polinômio é:

4a (3ab + 2ab² – 4a²)

Fatoração por agrupamento

A fatoração por agrupamento é utilizada quando é possível encontrar um fator comum entre os termos de dois a dois. Nem sempre existe um fator comum a todos os termos, mas pode ser que exista um fator comum a cada dois termos. Nesse caso, podemos fatorar por agrupamento.

Exemplo:

2x + 4y + ax + 2ay

Resolução:

Podemos agrupar os termos que possuem x e os termos que possuem 2y:

2x + ax + 4y + 2ay

x (2 + a) + 2y (2 + a)

Note que dentro dos parênteses há o mesmo fator. Assim, podemos colocar (2 + a) em evidência:

(2 + a) (x + 2y)

Trinômio quadrado perfeito

No estudo dos produtos notáveis, sabe-se que o quadrado da soma, ou o quadrado da diferença, gera como resultado um trinômio quadrado perfeito. Portanto, fatorar um trinômio quadrado perfeito é transformar esse polinômio em um desses produtos notáveis.

Sabemos que:

Então, reescreveremos polinômios do tipo na forma .

Exemplo 1:

Fatore o seguinte trinômio:

De início, extrairemos a raiz quadrada do primeiro e terceiro termos.

É importante verificar se esse trinômio é um quadrado perfeito de fato. Para isso, basta checar se o dobro do primeiro e do segundo termo encontrado é de fato igual ao termo central.

Note que o termo central é positivo, +8a, então a fatoração desse trinômio será o quadrado de uma soma.

Por fim, a forma fatorada desse polinômio é:

Exemplo 2:

Resolução:

Note também que:

O sinal central é negativo, logo, este é o quadrado da diferença:

Diferença de dois quadrados

A diferença de dois quadrados é outro caso de fatoração derivado de um produto notável. Quando calculamos o produto da soma pela diferença, encontramos a diferença entre dois quadrados. Desse modo, para fatorar a diferença entre dois quadrados, basta fazer o processo contrário do produto notável, ou seja, reescrevê-la como o produto da soma pela diferença.

Sabemos que:

Então, reescreveremos um polinômio do tipo como .

Exemplo:

Fatore o seguinte polinômio: 16 – a²

Podemos reescrevê-lo como:

16 – a² = 4² – a²

Trata-se de uma diferença entre dois quadrados, que pode ser fatorada como:

(4 + a) (4 – a)