Soma dos termos de uma PA

A soma dos termos de uma PA é dada pela multiplicação da metade do seu número de termos pela soma do primeiro com o último termo.

Organizando termos de modo que o posterior sempre seja a soma do anterior com uma constante

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que segue a lógica a seguir: um elemento é igual ao anterior somado com uma constante real. Assim, é uma propriedade das progressões aritméticas que a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer tenha sempre o mesmo resultado. Esse resultado é chamado de razão. A soma dos termos de uma PA pode ser calculada de maneira fácil por meio de uma fórmula, que será discutida a seguir.

O primeiro a somar termos

Gauss, matemático alemão, foi o primeiro a somar os termos de uma PA sem precisar somar todos os termos um por um. Quando criança, sua turma na escola sofreu um castigo do professor: eles deveriam somar todos os números de 1 a 100. Gauss foi o primeiro a terminar, em tempo recorde, e o único a acertar o resultado: 5050.

A explicação para isso está no fato de Gauss ter percebido que a soma do primeiro número com o último tinha 101 como resultado e que o mesmo acontecia para o segundo e penúltimo, terceiro e antepenúltimo e assim por diante. Não passou muito tempo para ele calcular que, ao final, teria 50 resultados iguais a 101 e que a soma exigida pelo professor era igual ao produto 50 por 100.

O pensamento de Gauss norteia a ideia central usada para demonstrar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA

Dada a PA (a₁, a₂, a₃, …, a_{n – 2}, a_{n – 1}, a_n), que possui n termos, observe que o primeiro termo é a₁, o segundo é a₂, …, o penúltimo é a_{n – 1} e o último é a_n.

Representando a soma desses termos por Sn, teremos a seguinte expressão:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n – 2} + a_{n – 1} + a_n

Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo fique abaixo do segundo e assim por diante.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n – 2} + a_{n – 1} + a_n

S_n = a_n + a_{n – 1} + a_{n – 2} + … + a₃ + a₂ + a₁

Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da mesma soma que Gauss fez.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n – 2} + a_{n – 1} + a_n

+ S_n = a_n + a_{n – 1} + a_{n – 2} + … + a₃ + a₂ + a₁

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_{n – 1}) + (a₃ + a_{n – 2}) + … + (a_{n – 2} + a₃) + (a_{n – 1} + a₂) + (a_n + a₁)

Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos do primeiro termo somado ao último. Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a₁ + a_n). Observe:

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + ... + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n)

Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui exatamente os n termos que a PA possui. A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de uma mesma PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós duplicamos cada termo antes de somá-los. Desse modo, podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial de termos. Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida:

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + ... + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n)