Lei da gravitação universal

A lei da gravitação universal é uma lei da Física que nos permite compreender o movimento dos planetas e satélites naturais no Sistema Solar e determinar a força atrativa gravitacional entre dois corpos celestes.

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Resumo sobre a lei da gravitação universal

• A lei da gravitação universal é uma lei formulada por Sir Isaac Newton, no século XVII.
• Na lei da gravitação universal, a força de atração gravitacional é igual à razão do produto da constante de gravitação universal e a massa dos corpos pela distância entre os corpos.
• A fórmula da lei da gravitação universal pode ser demonstrada a partir das leis de Kepler.
• Sir Isaac Newton estudou sobre os movimentos planetários descritos por Johannes Kepler, Tycho Brache e Galileu Galilei.

O que diz a lei da gravitação universal?

A lei da gravitação universal diz que a força atrativa entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto das massas desses corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre esses corpos. Isso está representado na imagem abaixo.

Fórmula da lei da gravitação universal

Na gravitação universal, utilizamos a fórmula da força gravitacional.

$F=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$

• F → força de atração gravitacional, medida em Newtons [N].
• G → constante de gravitação universal, vale 6,67 · 10^-11 N·m²/kg².
• m₁ → massa do corpo 1, medida em quilogramas [kg].
• m₂ → massa do corpo 2, medida em quilogramas [kg].
• r² → distância entre os corpos, medida em metros [m].

Gravitação universal e as leis de Kepler

As leis de Kepler, principalmente a Lei dos Períodos (2ª lei de Kepler) e a Lei Harmônica (3ª lei de Kepler), possuem uma relação com a lei da gravitação universal. Isso porque, partindo das leis de Kepler, podemos demonstrar e comprovar matematicamente a fórmula da lei da gravitação universal.

Para saber mais sobre as leis de Kepler, clique aqui.

Como surgiu a lei da gravitação universal?

A lei da gravitação universal surgiu no século XVII pelo polímata sir Isaac Newton (1643-1727) enquanto ele estudava como os planetas se mantinham em órbita no Sistema Solar. Partindo dos estudos dos movimentos planetários de Johannes Kepler (1571-1630), de Tycho Brache (1546-1601) e de Galileu Galilei (1564-1642) e de como a Lua orbitava a Terra, Newton desenvolveu a equação da lei da gravitação universal para os planetas no Sistema Solar, contudo ela é válida para todos os corpos celestes que possuem massa.

Importância da lei da gravitação universal

A lei da gravitação universal é uma das leis mais importantes da Física, já que ela foi utilizada para explicar o fenômeno das marés, determinar a órbita dos cometas, compreender o movimento planetário e de satélites naturais no Sistema Solar, determinar a relação da rotação terrestre com o formato da Terra e muito mais.

Exercícios resolvidos sobre a lei da gravitação universal

Questão 1

(Unicamp) Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terrestre (RT) mede 1,5 · 10¹¹ m e que o raio da órbita de Júpiter (RJ) equivale a 7,5 · 10¹¹ m.

A força gravitacional entre dois corpos de massas  m¹ e m² tem módulo $F=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$, em que r é a distância entre eles e G≅6,7 · 10^-11 N·m²/kg². Sabendo que a massa de Júpiter é m_J = 2,0 · 10²⁷kg e que a massa da Terra é m_T = 6,0 · 10²⁴kg, o módulo da força gravitacional entre Júpiter e a Terra no momento de maior proximidade é:

A) 1,4 · 10¹⁸ N 

B) 2,2 · 10¹⁸ N 

C) 3,5 · 10¹⁹ N 

D) 1,3 · 10³⁰ N 

Resolução:

Alternativa B.

Calcularemos a força gravitacional entre o planeta Júpiter e o planeta Terra empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$

$F = \frac{(6,7 \cdot 10^{-11}) \cdot (2,0 \cdot 10^{27}) \cdot (6,0 \cdot 10^{24})}{(7,5 \cdot 10^{11} - 1,5 \cdot 10^{11})^2}$

$F = \frac{(6,7 \cdot 10^{-11}) \cdot (2,0 \cdot 10^{27}) \cdot (6,0 \cdot 10^{24})}{(6 \cdot 10^{11})^2}$

$F = \frac{80,4 \cdot 10^{(-11+27+24)}}{36 \cdot 10^{22}}$

$F = \frac{80,4 \cdot 10^{40}}{36 \cdot 10^{22}}$

$F \cong \frac{2,23 \cdot 10^{40-22}}{1}$

$F \cong 2,23 \cdot 10^{18} \, \text{N}$

Questão 2

(UPE) Considere a massa do Sol M_S = 2 · 10³⁰ kg, a massa da Terra m_T= 6 · 10²⁴ kg, a distância Terra-Sol (centro a centro) aproximadamente  d_TS = 1 · 10¹¹ m e a constante de gravitação universal G = 6,67 · 10^-11 N·m²/kg². A ordem de grandeza da força de atração gravitacional entre o Sol e a Terra vale em N:

A) 10²³

B) 10³²

C) 10⁵⁴

D) 10¹⁸

E) 10²¹

Resolução:

Alternativa A.

Calcularemos a força gravitacional entre o Sol e o planeta Terra empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$

$F = G \cdot \frac{m_S \cdot m_T}{r^2}$

$F = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{(2 \cdot 10^{30}) \cdot (6 \cdot 10^{24})}{(1 \cdot 10^{11})^2}$

$F = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{(2 \cdot 10^{30}) \cdot (6 \cdot 10^{24})}{1 \cdot 10^{22}}$

$F = 80,04 \cdot 10^{-11} \cdot 10^{30} \cdot 10^{24} \cdot 10^{-22}$

$F = 80,04 \cdot 10^{-11 + 30 + 24 - 22}$

$F = 8,004 \cdot 10^1 \cdot 10^{21}$

$F = 8,004 \cdot 10^{1 + 21}$

$F = 8,004 \cdot 10^{22} \, \text{N}$

Como 8,004 é maior que 3,162, a ordem de grandeza será 10²³.

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Mecânica (vol. 1). 5 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.