Gravitação universal

A gravitação universal é uma lei desenvolvida por Isaac Newton para explicar as órbitas circulares dos planetas do Sistema Solar e a força atrativa entre eles. Sua fórmula foi obtida com base nas leis de Kepler, e a constante de gravitação universal (G) que aparece na equação é fruto do experimento da balança de torção desenvolvido por Henry Cavendish.

A descoberta dessa lei expandiu ainda mais a mentes dos cientistas, e, com base nela, Newton conseguiu explicar o formato da Terra, as marés, a órbita dos cometas, entre outros.

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Resumo sobre gravitação universal

• Com base na lei da gravitação universal, conseguimos determinar a força gravitacional atrativa entre dois corpos.
• Para calcular a força gravitacional, é necessário ter conhecimento das massas dos corpos e da distância entre eles.
• A fórmula da gravitação universal pode ser obtida com base nas leis de Kepler.
• A constante de gravitação universal é uma constante de proporcionalidade cujo módulo vale 6,67408∙10-11N∙m²/kg².

O que é a lei da gravitação universal?

A lei da gravitação universal é uma lei que foi descrita pelo físico sir Isaac Newton (1643-1727), na sua obra Philosophiae naturalis principia mathematica, publicada em 1687. Ela descreve que dois corpos sofrerão mutuamente a ação de uma força atrativa proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.

O enunciado da lei da gravitação universal diz o seguinte:

Dois corpos atraem-se por uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa.

Para se ter ideia da importância dessa lei para a Física, no livro III do Principia, Newton a aplica:

• na discussão do movimento dos satélites naturais e planetas do Sistema Solar;
• na demonstração do cálculo das massas dos planetas em relação à massa da Terra;
• no cálculo do efeito da rotação da Terra no seu formato achatado;
• na explicação sobre as marés;
• no cálculo da órbita dos cometas etc.

Qual a fórmula da gravitação universal?

Na gravitação universal, utilizamos a fórmula da força gravitacional, a saber:

\(F=G\ \frac{M\bullet m}{d^2}\)

• \(F\ \)  é o módulo da força de atração gravitacional, medida em Newtons [\(N\)].
• \(G \)  é a constante de gravitação universal, vale \(6,67\ \bullet\ {10}^{-11}\ N.m^2/{kg}^2\) .
• \(M\)  é a massa do corpo 1, medida em quilogramas [\(kg\)] .
• \(m \)  é a massa do corpo 2, medida em quilogramas [\(kg\)] .
• \(d^2\)  é a distância entre os planetas, medida em metros [\(m\)].

Gravitação universal e as leis de Kepler

A lei da gravitação universal tem uma ligação direta com as leis de Kepler, principalmente a lei dos períodos (2ª lei) e a lei harmônica (3ª lei), já que, por meio delas, é possível demonstrar a fórmula da lei da gravitação universal, evidenciando a sua comprovação.

• Videoaula sobre as leis de Kepler

História da gravitação universal

No começo do século XVII, Newton queria saber como os corpos se mantinham em órbita no Sistema Solar. Partindo disso, ele estudou a razão que fazia a Lua girar ao redor da Terra e, posteriormente, estudou a respeito dos movimentos planetários descritos por Johannes Kepler (1571-1630), Tycho Brache (1546-1601) e Galileu Galilei (1564-1642).

Baseado nos princípios de seus antecessores, ele elaborou a teoria de que todos os corpos que possuem massa sofrem atração entre si, e, com base na 2ª lei de Kepler, descobriu que os planetas só descrevem órbitas circulares ao redor do Sol se eles estiverem sujeitos a um movimento uniforme com uma aceleração centrípeta e com uma força atrativa entre eles.

Acrescentanto a isso a 3ª lei de Kepler, Newton chegou à conclusão de que a força é proporcional à massa do planeta e à massa do Sol, mas também inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. Assim, ele desenvolveu a equação da lei da gravitacão universal, que, ainda que tenha sido desenvolvida em relação ao Sol e aos planetas do Sistema Solar, é válida também para os demais corpos celestes, por isso, ela é universal.

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A constante de gravitação universal

A constante de gravitação universal, também conhecida como constante newtoniana da gravitação, é uma constante física cujo valor é \({6},{67408}\bullet{{10}}^{-{11}}{N}\bullet{m}²/kg²\).  Como a atração entre dois corpos comuns tem um valor muito pequeno, podendo ser desprezado, foi apenas por meio do experimento da balança de torção, desenvolvido pelo cientista Henry Cavendish (1731-1810), entre 1797 e 1798, que pôde ser determinado o valor dessa constante.

Observação: Não confunda o G  (maiúsculo) da constante da gravitação universal com o g  (minúsculo) da aceleração da gravidade terrestre, cujo valor é, aproximadamente, \(9,81\ m/s^2\) .

Exercícios resolvidos sobre gravitação universal

Questão 1

(PUC-SP) A intensidade da força gravitacional com que a Terra atrai a Lua é F. Se fossem duplicadas a massa da Terra e da Lua e se a distância que as separa fosse reduzida pela metade, a nova força seria:

a) 16F

b) 8F

c) 4F

d) 2F

e) F

Resolução: Alternativa A

Usando a lei da gravitação universal, considerando \(M \) como sendo a massa da Terra e \(m \) a massa da Lua:

\(F=G\ \frac{M\bullet m}{d^2}\)

\(F=G\ \frac{M_T\bullet m_L}{d^2}\)

Agora, usaremos novamente a lei da gravitação universal, mas com uma força nova \(F\prime\) , e substituiremos os dados do enunciado nela:

\(F\prime=G\ \frac{M_T\bullet m_L}{d^2}\)

\(F\prime=G\ \frac{2M_T\bullet{2m}_L}{\left(\frac{d}{2}\right)^2}\)

\(F\prime=G\ \frac{{4\bullet M}_T\bullet m_L}{\frac{d^2}{4}}\)

\(F\prime=G\ \frac{{4\bullet M}_T\bullet m_L}{d^2}\bullet4\)

\(F^\prime=16\bullet G\ \frac{M_T\bullet m_L}{d^2}\)

Lembrando que \(F=G\ \frac{M_T\bullet m_L}{d^2}\) , então:

\(F^\prime=16\bullet F\)

Questão 2

(UPE) Considere a massa do Sol \(M_S=2·1030 kg\), a massa da Terra \(m_T=6·1024\) , a distância Terra–Sol (centro a centro) aproximadamente \(d_{TS}=1·1011 m\) e a constante de gravitação universal \(G=6,67\bullet{10}^{-11}\ N.m^2/{kg}^2\) . A ordem de grandeza da força de atração gravitacional entre o Sol e a Terra vale em N:

a) 10²³

b) 10³²

c) 10⁵⁴

d) 10¹⁸

e) 10²¹

Resolução: Alternativa A

A força gravitacional entre o Sol e a Terra é dada pela lei da gravitação universal:

\(F=G\ \frac{M\bullet m}{d^2}\)

\(F=G\ \frac{M_S\bullet m_T}{d^2}\)

Substituindo os valores dados pelo enunciado, temos:

\(F=6,67\bullet{10}^{-11}\ (2·1030)∙(6·1024)(1 · 1011)2\)

\(F=6,67\bullet{10}^{-11}\ (2·1030)∙(6·1024)1·1022\)

\(F=80,04\bullet{10}^{-11}\bullet{10}^{30}\bullet{10}^{24}\bullet{10}^{-22}\)

\(F=80,04\bullet{10}^{-11+30+24-22}\ \) 

\(F=8,004\bullet{10}^1\bullet{10}^{21}\ \) 

\(F=8,004\bullet{10}^{1+21}\ \ \) 

\(F=8,004\bullet{10}^{22}\ N\ \ \)

A ordem de grandeza da força de atração é \({10}^{23}\) , já que \(8,004\) é maior que \(3,162\) .