Equação exponencial

A equação exponencial é um caso particular de equação. Equação é uma sentença matemática que possui igualdade e, pelo menos, uma incógnita. Resolver equações é encontrar os valores que fazem com que a sentença matemática seja verdadeira, e com as equações exponenciais não é diferente.

Buscamos encontrar o valor para a incógnita que faz com que a igualdade seja válida, para isso utilizamos técnicas de equação e as propriedades de potência, com o objetivo de igualar as bases dos dois lados da igualdade para que seja possível igualar os expoentes da equação.

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O que é equação exponencial?

Conhecemos como equação exponencial uma equação que possui uma incógnita em seu exponente. Veja alguns exemplos a seguir:

• 32 = 2^x

• 5^{x + 3} = 625

• 7^{x – 5} = 49

• 3^{x² – 4} = 27^-x

Propriedades de potência

Para encontrar as soluções de uma equação exponencial, antes vamos rever as principais propriedades de potência, essenciais para a resolução desse tipo de equação. São elas:

• Igualdade de potência de mesma base

Dadas duas potências iguais, se a base de cada potência for a mesma, então, o expoente será igual.

aⁿ = a^m → n = m

• Multiplicação de potências de mesma base

Quando há uma multiplicação entre potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

aⁿ · a^m = a^{n + m}

• Divisão de potências de mesma base

Quando há uma divisão entre potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

aⁿ : a^m = a^{n – m}

• Potência de potência

Quando há uma potência de potência, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

(aⁿ)^m = a^{n · m}

• Potência com expoente negativo

Quando há uma potência de expoente negativo, escrevemos o inverso da base para que o expoente fique positivo:

• Potência com expoente fracionário

Quando o expoente da potência é uma fração, é possível escrever essa potenciação como uma radiciação.

Veja também: Como fazer a simplificação de radicais?

Como resolver uma equação exponencial

Conhecendo as propriedades de potência, para resolver uma equação exponencial, utilizamos essas propriedades para igualar as bases nos dois membros da igualdade. Quando as bases são iguais, pela propriedade de igualdade de potência, os expoentes são iguais. Igualando-se os expoentes, basta resolver a equação polinomial.

Exemplo 1:

2^x = 32

Para igualar as bases, é necessário decompor o 32 em uma potência de 2. Sabemos que 32 = 2⁵, então, temos que:

2^x = 32
2^x = 2⁵

Temos uma igualdade de potência de mesma base. Se a base é igual, consequentemente, o expoente também o será, então, temos que:

x = 5

Exemplo 2:

5^{x + 3} = 625

Realizando a fatoração de 625, sabemos que 625 = 5⁴.

5^{x + 3} = 5⁴

Como as bases são iguais, então, podemos igualar os expoentes:

x + 3 = 4
x = 4 – 3
x = 1

Exemplo 3:

3^{x² – 4} = 27^-x

Sabemos que 27 = 3³, então, temos que:

3^{x² – 4} = (3³)^-x
3^{x² – 4} = 3^-3x

Como as bases são iguais, é possível igualar os expoentes, logo, temos que:

x² – 4 = -3x

Note que nós encontramos uma equação do 2º grau, então:

x² – 4 + 3x = 0
x² + 3x – 4 = 0

a = 1
b = 3
c = -4

Δ = b² – 4ac
Δ = 3² – 4 · 1 · (-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25

Desse modo, o conjunto de soluções dessa equação exponencial é S {-4, 1}.

Exemplo 4:

2^{x + 2} – 2^x = 96

Primeiro, reescreveremos a potência que tem a soma no expoente como a multiplicação de duas potências de mesma base:

2^{x + 2} – 2^x = 96
2^x · 2² – 2^x = 96

Colocando 2^x em evidência:

2^x (2² – 1) = 96
2^x (4 – 1) = 96
2^x · 3 = 96
2^x = 96/3
2^x = 32

Sabemos que 32 = 2⁵:

2^x = 32
2^x = 2⁵

Como foi possível igualar a base, vamos igualar os expoentes:

x = 5

Leia também: Quais as diferenças entre equação e função?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Resolvendo a equação 3^{x + 1} + 3^{x + 2} = 108, podemos afirmar que o valor de x é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 0

Resolução

Alternativa B

Pela propriedade de potência, sabemos que:

3^{x + 1} = 3^x · 3¹
3^{x + 2} = 3^x · 3²

Substituindo na equação:

3^x · 3¹ + 3^x · 3² = 108
3^x · 3 + 3^x · 9 = 108

Note que 3^x aparece nas duas parcelas, colocando ele em evidência, temos que:

3^x (3 + 9) = 108
3^x · 12 = 108
3^x = 108/12
3^x = 9

Agora, para igualar as bases, sabemos que 9 = 3².

3^x = 3²

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes, ou seja, x = 2.

Questão 2 - Marque a alternativa que contém o conjunto de soluções da equação exponencial:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolução

Alternativa E

Utilizando as propriedades da potência, vamos igualar as bases:

Como as bases são iguais, vamos igualar os expoentes:

2 – x = -3
-x = -3 – 2
-x = -5 · (-1)
x = 5