Terceira lei de Kepler

A terceira lei de Kepler diz que “o quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita”. Isso significa que o tempo necessário para um planeta dar uma volta completa em torno do Sol elevado ao quadrado é diretamente proporcional à medida do raio médio da órbita desse mesmo planeta elevada ao cubo. Devido a isso, a terceira lei de Kepler também recebeu o nome de “lei dos períodos”.

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Resumo sobre a terceira lei de Kepler

• A terceira lei de Kepler diz que o quadrado dos períodos de órbita de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do comprimento do semieixo maior da órbita.

• A terceira lei de Kepler foi publicada em 1619 pelo matemático e astrônomo alemão Johannes Kepler.

• A razão entre o quadrado do período e o cubo do raio médio da órbita é uma constante.

• Quanto maior o raio da órbita, maior é o período.

• A terceira lei de Kepler se aplica a corpos que orbitam um outro corpo mais massivo.

O que diz a terceira Lei de Kepler?

Após dedicar vários anos de sua vida à observação dos corpos celestes, Johannes Kepler (1571–1630) elaborou três leis que descreviam o comportamento desses corpos. Em 1609, publicou a primeira e a segunda e após dez anos, em 1619, publicou a terceira, enunciando que o quadrado do período da órbita de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita.

Em outras palavras, o tempo gasto para qualquer planeta dar uma volta completa em torno do Sol elevado ao quadrado dividido pelo raio médio da sua órbita elevado ao cubo terá em média o mesmo resultado.

O período é o tempo gasto para a conclusão de um ciclo, ou seja, uma volta completa em torno do Sol. A órbita, por sua vez, é o movimento circular que um corpo realiza em torno de outro que possui valores maiores de massa e, consequentemente, gravidade.

Como foi enunciado na primeira lei de Kepler, as órbitas dos planetas são elípticas, e não circulares. Logo, haverá um eixo maior e outro menor. O enunciado refere-se ao semieixo (metade do eixo) maior, como é demonstrado na figura a seguir.

Qual é a fórmula da terceira lei de Kepler?

Colocando o enunciado da terceira lei de Kepler em termos de equação para corpos que orbitam a mesma estrela ou corpo maior, temos que:

\(\frac{T^2}{r^3}=k\)

Acima, k representa uma constante com valor médio igual a 2,98 \(·\) 10^-34 anos²/m³ para os planetas ou corpos que orbitam o Sol do nosso Sistema Solar, considerando que o período das órbitas estejam medidas em anos e seu raio médio, em metros (m).

A tabela a seguir representa o valor de k para os oito planetas do nosso Sistema Solar e de Plutão — lembrando que Plutão é considerado um planeta anão desde 2006.

Ao comparar os valores dos raios médios de cada órbita com os seus respectivos períodos, é possível perceber que quanto maior o raio da órbita, maior é o período. Em termos simples, quanto maior a distância, maior o tempo necessário para cobri-la. 

Em corpos que orbitam um astro diferente do Sol, a fórmula anterior sofre uma pequena variação:

\(\frac{T^2}{r^3}=\frac{5,92·{10}^{11}}M\)

Nessa fórmula, o valor de M é a massa do corpo que está sendo orbitado, e não o que orbita. Dessa forma, para o nosso Sistema Solar, o valor de M seria a massa do Sol.

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Como se aplica a terceira lei de Kepler?

A aplicação da terceira lei de Kepler abrange todos os corpos (m) que orbitam um segundo corpo com massa muito maior (M). Em caso de planetas orbitando o Sol, os planetas seriam os que têm massa m e o Sol, massa M. Se a aplicação ocorresse em satélites orbitando planetas, os satélites seriam os corpos de massa m e os planetas, os de massa M. Uma terceira possível aplicação seria em cometas orbitando o Sol, como é o caso do cometa Halley, que tem um período de órbita com o Sol de 76 anos.

Veja alguns exemplos de cálculo:

• Exemplo 1

“O astrônomo Giuseppe Piazzi não estava procurando um planeta em 1º de janeiro de 1801, mas avistou um ponto de luz desconhecido que se movia lentamente entre as estrelas. Ele o nomeou em homenagem a Ceres, a deusa romana da agricultura, e se você comeu cereal esta manhã, já teve uma conexão etimológica com a deusa.”

Fonte: https://www.jpl.nasa.gov/blog/2014/12/ceres-curiosities-the-mysterious-world-comes-into-view

O planeta anão Ceres, que recebeu essa classificação em 2006, possui um período de órbita igual a 4,6 anos e um semieixo maior que abrange aproximadamente 2,76 UA. Verifique se o planeta anão Ceres orbita o Sol do nosso Sistema Solar. Dados:

• UA = 1,48 \(·\) 10⁸ km do Sol

• k_médio = 2,98 \(·\) 10^-34 anos²/m³

Resposta:

Primeiramente, deve-se extrair os dados.

• T = 4,6 anos

• r = 2,76 UA

Para verificar se um planeta está na órbita do nosso Sistema Solar, é necessário que a razão entre o seu período de órbita ao quadrado e o valor do seu semieixo maior ao quadrado seja igual ou próximo de 2,98.10^-34 anos²/m³, ou seja, deve-se utilizar a terceira lei de Kepler. Para isso, o período deve estar medido em anos e o raio médio, em metros. Como foi dado que UA = 1,48 \(·\) 10⁸ km, deve-se converter esse valor em metros, multiplicando-o por 10³ e, em seguida, por 2,76.

r = 1,48 · 10⁸ · 10³ · 2,76 = 4,0848 · 10¹¹ m

Substituindo na terceira lei de Kepler:

\(\frac{T^2}{r^3}=\frac{{4,6}^{2}}{(4,0848·{10}^{11})^3}=\frac{21,16}{66,33·{10}^{33}}=0,319.10^{-33}=3,19·10^{-34}anos^{2}/m3\)

O valor do raio médio da órbita foi obtido por aproximação, e algumas casas decimais não foram utilizadas. O valor de 3,19 \(·\) 10^—34 é muito próximo do valor médio 2,98 \(·\) 10^—34. Sendo assim, pode-se considerar que Ceres orbita o nosso Sol.

• Exemplo 2

Um satélite orbita um corpo fictício de massa igual a 3,2·10²⁰ kg. Sabendo que o raio dessa órbita é igual a 4 \(·\) 10⁸ metros, quantos anos são necessários para um ciclo completo desse satélite?

Resposta:

Extraindo os dados do exercício:

• M = 3,2 · 10²⁰ kg

• r = 4 · 10⁸ metros

• T = ?

Como o exercício não está tratando de um corpo em nosso Sistema Solar, deve-se utilizar a regra geral da terceira lei de Kepler.

\(\frac{T^2}{r^3}=\frac{5,92.{10}^{11}}{M}\)

Como o objetivo é descobrir o valor de T, deve-se isolá-lo. Dessa forma, r³ passará para o outro lado da igualdade, multiplicando o numerador.

\(T^2=\frac{5,92.{10}^{11}·{r}^{3}}M\)

\(T^2=\frac{5,92·{10}^{11}·(4·{10}^{8})^3}{3,2·{10}^{20}}\)

\(T^2=\frac{5,92·{10}^{11}·64·{10}^{24}}{3,2·{10}^{20}}\)

\(T^2=\frac{378,88·{10}^{35}}{3,2·{10}^{20}}\)

\(T^2=118,4·{10}^{15}\)

Como a incógnita está elevada ao quadrado, acrescenta-se uma raiz quadrada em ambos os lados da equação. Dessa forma, o expoente será anulado com o radical.

\(\sqrt{T^2}=\sqrt{118,4·{10}^{15}}\)

\(T=3,44·108 anos\)

Videoaula sobre as leis de Kepler

Exercícios resolvidos sobre a terceira lei de Kepler

Questão 1

A lua do planeta XXXWWT (fictício) gasta algo em torno de 18 dias para completar seu ciclo em torno dele. A órbita descrita por essa lua possui formato elíptico. O semieixo maior dessa órbita mede aproximadamente 1,5·10⁵ km. Qual é a massa do planeta XXXWWT?

a) 2,5 · 10²³ kg

b) 7,8 · 10⁴⁵ kg

c) 8 · 10³⁸ kg

d) 4,1 · 10⁶¹ kg

e) 9 · 10³³ kg

Resposta

Extraindo os dados:

• T = 18 dias

• r = 1,5·105 Km

• M = ?

Primeiramente, deve-se deixar as unidades de medida em harmonia, convertendo dias em anos (dividindo por 360, já que um ano possui 360 dias) e quilômetros em metros (multiplicando o valor fornecido por 10³).

\(T\ =\ \frac{18\ dias}{360}=0,05\ anos\)

\(r=1,5·{10}^{5}·{10}^{3}=1,5·{10}^{8} m\)

Como a órbita não ocorre em torno do Sol, utiliza-se a segunda fórmula e isola-se o M.

\(\frac{T^2}{r^3}=\frac{5,92.{10}^{11}}{M}\)

A massa M passará para o lado esquerdo da igualdade, e o período T e raio médio r passarão para o outro lado da igualdade em posições invertidas.

\(M=\frac{5,92·{10}^{11}·{r}^{3}}{{T}^{2}}\)

\(M=\frac{5,92·{10}^{11}·(1,5·{10}^{8})^{3}}{0,05^{2}}\)

\(M=\frac{5,92·{10}^{11}·3,375·{10}^{24}}{0,0025}\)

\(M=\frac{19,98·{10}^{35}}{0,0025}=7992·{10}^{35}\)

\(M=7,992·{10}^{38}=8·{10}^{38} kg\)

Gabarito: C

Questão 2

Determinado planeta do nosso Sistema Solar possui período de ciclo igual a 84 anos. Sabendo que a sua constante k é de 2,98.10^-34 anos²/m³, marque a alternativa que corresponde a esse planeta e o raio médio da sua órbita.

a) Terra — 1,5·10¹¹ m

b) Urano — 2,87·10¹² m

c) Mercúrio — 5,79·10¹º m

d) Vênus — 1,08·10¹¹ m

e) Planeta desconhecido — 3,16·10¹³ m

Resposta:

• T = 84 anos

• K = 2,98·10-34 anos²/m³

• r = ?

Considerando que o planeta está no nosso Sistema Solar:

\(\frac{T^2}{r^3}=k\)

Isola-se o r:

\(r^3=\frac{T^2}{k}=\frac{{84}^{2}}{2,98·{10}^{-34}}=\frac{7056}{2,98·{10}^{-34}}\)

\(r^3=2367,8·{10}^{34}\)

Como r está elevado ao cubo, deve-se aplicar raiz cúbica em ambos os lados da equação.

\(\sqrt[3]{r^3}=\sqrt[3]{2367,8·{10}^{34}}\)

\(r=2,87·{10}^{12} m\)

Gabarito: B