Inequação

A inequação é uma expressão matemática que possui variável e um sinal de desigualdade entre os seus termos. Os sinais de desigualdade são:

menor que (<)
maior que (>)
menor ou igual (≤)
maior ou igual (≥)

As inequações mais comuns são as do 1º grau e do 2º grau. Para cada uma delas, utilizamos um método de resolução. A fim de encontrar a solução de uma inequação, utilizamos técnicas parecidas com as utilizadas para encontrar soluções das equações, mas é necessário tomar alguns cuidados, por se tratar de uma desigualdade e não de uma igualdade. A diferença entre inequação e equação é que, nesta, há uma igualdade, e, naquela, uma desigualdade.

O que é inequação?

Símbolos de desigualdade.

A inequação é uma expressão algébrica que possui um sinal de desigualdade entre os seus termos.

Exemplos:

2x – 5 > 4
x² + 2x + 2 ≤ -1
5x + 1 ≥ 4x – 3
x² – 4x < 0

Resolver inequações é encontrar o conjunto de soluções que faz com que a desigualdade seja verdadeira. Diferentemente de uma equação do 1º grau, por exemplo, que possui somente uma solução, a inequação do 1º grau pode ter infinitas soluções. Por isso, encontramos um conjunto de soluções e não apenas uma solução.

Símbolos da inequação

Os símbolos que aparecem na expressão algébrica e fazem com que ela seja conhecida como uma inequação são os símbolos de desigualdade:

< → menor que
≤ → menor ou igual
> → maior que
≥ → maior ou igual

Veja também: Propriedades da desigualdade nas inequações

Tipos de inequação

Existem dois tipos principais de inequação, o que define o tipo de inequação e o que define o tipo de expressão algébrica que estamos resolvendo. Quando há um polinômio de grau 1, temos uma inequação do 1º grau, e quando há um polinômio de grau 2, temos uma inequação do 2º grau.

Inequação do 1º grau

As inequações do 1º grau são basicamente divididas nos casos a seguir:

ax + b > 0
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
Como resolver uma inequação do 1º grau

Em todos esses casos, o método de resolução é sempre o mesmo. Para encontrarmos o conjunto de soluções da inequação, isolaremos a variável.

Exemplo:

Encontre o conjunto de soluções da inequação 2x – 10 < 4.

Para encontrar a solução da inequação, vamos isolar a variável:

2x – 10 < 4
2x < 4 + 10
2x < 14
x < 14/2
x < 7

Perceba que a solução para essa inequação é qualquer valor que seja menor que 7.

S: {x∈ R | x < 7} (Lê-se: x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é menor que sete.)

Essa solução pode ser mostrada de forma geométrica:

Exemplo 2:

Encontre o conjunto de soluções da inequação 5x – 9 ≤ 8x + 2.

Para encontrar a solução da inequação, vamos isolar a variável:

5x – 9 ≤ 8x + 3
5x – 8x ≤ 9 + 3
-3x ≤ 12

Agora é necessário multiplicar por -1, mas é importante realizar a inversão da desigualdade, ou seja, a desigualdade era ≤ e ficará ≥.

-3x ≤ 12 (-1)
3x ≥ -12
x ≥ -12/3
x ≥ -4

S: {x ∈ R | x ≥ -4}

Representando geometricamente:

Inequação do 2º grau

As inequações do 2º grau são basicamente divididas nos casos a seguir:

ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
Como resolver uma inequação do 2º grau

Para encontrar o conjunto de soluções da inequação do 2º grau, vamos recorrer à fórmula de Bhaskara.

Exemplo 1:

Encontre o conjunto de soluções da inequação:

x² – 2x – 3 < 0

Vamos encontrar as raízes da equação quadrática.

a = 1

b = -2

c = -3

Δ = 4 – 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16

Agora, fazendo o estudo de sinais, sabemos que o gráfico da função quadrática é sempre uma parábola, e, nesse caso, com a concavidade para cima, pois a > 0. Representando o estudo de sinal, queremos os instantes em que a expressão algébrica tenha valores negativos.

Note que a parábola assume valores negativos entre -1 e 3, pois é o momento em que o gráfico está abaixo do eixo.

S: {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 3}

Exemplo 2:

Encontre o conjunto de soluções da inequação -2x² – x + 1 ≤ 0.

Vamos encontrar x₁ e x₂:

a = -2

b = -1

c = 1

Δ = b² – 4ac
Δ = (-1) ² – 4 · 1 · (-2)
Δ = 1 + 8
Δ = 9

Fazendo a representação geométrica e o estudo de sinal, nesse caso, temos uma parábola com a concavidade para baixo:

Note que a parábola está abaixo do eixo para valores anteriores a -2 ou superiores a 1, então, temos que:

S: {x ∈ R | x ≤ -2 ou x ≥ 1}

Veja também: Como resolver inequação modular?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Uece) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x² – 32x + 252 < 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto:

A) {12, 13, 14}
B) {15, 16, 17}
C) {18, 19, 20}
D) {21, 22, 23}

Resolução

Alternativa B

Vamos encontrar as soluções inteiras dessa desigualdade. Para isso, encontraremos as raízes da equação x² – 32x + 252 = 0.

a = 1

b = -32

c = 252

Δ = b² – 4ac
Δ = (-32)² – 4 · 1 · 252
Δ = 1024 – 1008
Δ = 16

O conjunto de números inteiros entre 14 e 18 são os números {15, 16, 17}.

Questão 2 - As soluções reais da inequação a seguir é o conjunto:

2x² – 5x > 2x² - 3x – 8

A) S: {x ∈ R | x > -4}
B) S: {x ∈ R | x > 8}
C) S: {x ∈ R | x < 4}
D) S: {x ∈ R | x < -4}
E) S: {x ∈ R | x > 2}