Função exponencial

A função exponencial é utilizada para descrever e modelar o comportamento de várias situações no nosso dia a dia. Podemos observá-la, por exemplo, na matemática financeira, em situações que envolvem juros compostos, em reprodução de cultura de bactérias, e até mesmo o comportamento de novos casos da covid-19, durante a pandemia em 2020, aproxima-se muito de um comportamento exponencial.

A lei de formação da função exponencial é f(x) = a^x, podendo gerar um gráfico crescente ou decrescente, dependo do valor da base “a”. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica.

Leia também: Quais são as diferenças entre função e equação?

Definição da função exponencial

Definimos como função exponencial uma função f: ℝ → ℝ*₊, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais, e seu contradomínio é o conjunto dos números reais positivos diferentes de 0. Além disso, a sua lei de formação pode ser descrita por f (x) = a^x, em que ‘a’ é a base, cujo valor sempre será um número real positivo.

Exemplos:

f(x) = 2^x

f(x) = 0,3^x

Podemos observar que f(x) é a variável dependente, podendo ser representada por y também, e x é a variável independente.

Tipos de função exponencial

Podemos dividir a função exponencial em dois casos: crescente ou decrescente.

O gráfico da função f(x) = a^x é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.

A função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando 0<a<1. Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de x menor será o valor de y.

Veja também: Tipos de gráficos – quando usar cada um?

Gráfico da função exponencial

Para traçar o gráfico de uma função exponencial, é necessário encontrar o valor numérico para alguns valores de x. Existem duas possibilidades para o comportamento do gráfico, ele pode ser crescente ou decrescente, como vimos anteriormente. Quando o gráfico é crescente, a função exponencial é caracterizada por possuir um crescimento muito rápido em comparação, por exemplo, com a função afim.

Podemos observar que o gráfico não passa pelo 3º e 4º quadrante do plano cartesiano, pois o contradomínio será, como vimos na definição, os reais positivos e maiores que 0. Por mais próximo que o gráfico chegue do eixo x, ele não o tocará, não há valor algum no domínio que faça com que a^x seja igual a 0, lembrando que, por definição, a base é sempre maior do que 0.

Exemplos:

Construa os gráficos das funções:

a) f(x) = 3^x

Como a >1, então essa função é crescente. Para construir o gráfico, vamos construir a tabela com alguns valores numéricos da função.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano gráfico da função:

Nesse caso, a base é menor que 1, ou seja, 0<a<1, logo o gráfico será decrescente. O fato de ele ser decrescente não altera o método que utilizaremos para construí-lo, assim como foi feito no outro, encontraremos alguns valores numéricos.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função:

Para saber mais informações sobre a construção dos gráficos desse tipo de função, acesse: gráfico da função exponencial.

Propriedades da função exponencial

• 1ª propriedade

Em uma função exponencial, f(0) = 1. Essa propriedade não passa de uma consequência das propriedades de potência, já que a base de todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1.

f(0) = a⁰=1

• 2ª propriedade

A função exponencial é injetiva. Isso significa que, para valores diferentes de x, a imagem também será diferente, ou seja, f(x₁) ≠ f(x₂) com x₁ ≠ x₂. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y.

• 3ª propriedade

Como vimos em um tópico anterior, o gráfico da função exponencial pode ser crescente, se a base for maior que 1 (a >1), e decrescente, caso a base seja um número menor que 1 e maior que 0 (0<a<1).

• 4ª propriedade

O gráfico da função exponencial nunca corta o eixo x. Por menor que seja o valor da imagem, ele nunca chegará a ser 0. Dizemos que ele tende a 0, mas não existe valor de x que faça com que f(x) = 0.

Conheça mais detalhes sobre essas propriedades, acessando o texto: propriedades da função exponencial.

Função exponencial e função logarítmica

A comparação entre essas duas funções é bastante comum, já que a função logarítmica possui como função inversa a função exponencial. Isso significa que os gráficos das duas são simétricos em relação à bissetriz do eixo x.

Exemplo:

Encontre a função inversa f (x)^-1 da função exponencial de lei de formação f(x) = 5^x.

Para encontrar a função inversa, trocamos x e y de lugar.

x = 5^y

Agora vamos isolar o y novamente, mas para isso aplicaremos log na base 5 dos dois lados.

log₅x = log₅5^y
log₅x = ylog₅5
log₅x= y

Então, a função inversa será:

f(x)^-1 = log₅x

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um biólogo está estudando uma cultura de bactérias que se reproduzem de formal exponencial. A lei de formação que descreve a reprodução dessas bactérias é f(t) = Q_i · 3^t , em que Q_i é a quantidade inicial de bactérias e t é o tempo dado horas. Sabendo que havia 200 bactérias em uma amostra, qual será a quantidade de tempo necessária para que essa cultura tenha o total de 16.200 bactérias?

a) 2 horas

b) 3 horas

c) 4 horas

d) 5 horas

e) 6 horas

Resolução

Alternativa C

Sabemos que f(t) = 16 200 e que Q_i=200, realizando a substituição desses termos, vamos encontrar o valor de t.

Questão 2 - (ENEM – 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800·(1,03)^t. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais:

a) 7416,00

b) 3819,24

c) 3709,62

d) 3708,00

e) 1909,62

Resolução

Alternativa E

Sabemos que t = 2, realizando a substituição.

s(t) = 1800·(1,03)^t

s(2) = 1800·(1,03)^²

s(2) = 1800· 1,0609

s(2) = 1909,62