Principais tópicos de Geometria para o Enem

A Matemática é dividida em três grandes áreas: geometria, álgebra e análise ou cálculo. As provas do Enem procuram dar o mesmo peso para essas três áreas, entretanto, dentro de cada eixo, existem temas que ocorrem com maior frequência nas avaliações.

Considerando que as questões de Geometria podem ser mais difíceis – pois, muitas vezes, chegam a envolver cálculo e álgebra, além dos próprios conceitos referentes às figuras geométricas, separamos algumas questões e os principais tópicos de Geometria presentes nas provas anteriores do exame.

Sem dúvidas, a maioria das questões de geometria envolve área e volume. Insatisfeitos, os idealizadores misturam a esses conceitos porcentagens, escalas, proporcionalidades, conversões de unidades de medidas e, até mesmo, funções. Fora isso, quase todos os exercícios dependem de algum conhecimento de equações para ser resolvido. Por isso, não basta saber fórmulas e mais fórmulas para “levar” para a prova. É necessário conhecer com profundidade os conceitos mais básicos da Matemática, que são indispensáveis para resolução de qualquer questão.

Portanto, sugerimos ao candidato à vida universitária que leia artigos sobre os seguintes temas para se preparar para essa avaliação, caso tenha alguma dúvida:

• Resolução de equações do primeiro grau.

• Resolução de equações do segundo grau.

• Formas geométricas específicas e suas propriedades: Retângulos, triângulos, circunferência e círculo, retas, polígonos, poliedros etc.

Áreas

A maior parte das questões do Enem envolve área ou volume. As áreas das figuras planas que mais caem são:

• Área do paralelogramo (com a qual é possível calcular também a área do retângulo e a área do quadrado, pois eles são paralelogramos). Um artigo sobre essa área pode ser encontrado aqui;

• Área do círculo. Um artigo sobre essa área pode ser encontrado aqui;

• Área do triângulo. Um artigo sobre essa área pode ser encontrado aqui;

• Área do trapézio. Um artigo sobre essa área pode ser encontrado aqui.

As questões sobre áreas no Enem são diversas e abrangem muito conhecimento matemático, mas a grande maioria engloba um dos quatro conceitos listados acima.

Observe o exemplo:

(ENEM-2015) O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O Raio R deve ser um número natural.

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50m x 24m. O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente. Considere 3,0 como aproximação para π.

O maior valor para R, em metros, deverá ser:

a) 16

b) 28

c) 29

d) 31

e) 49

Solução:

Primeiramente, é preciso conhecer a área do círculo e um modo de transformá-la na área do setor circular ou conhecer a área do setor circular.

O círculo completo descreve uma volta de 360°. Isso significa que a área de cada setor circular é dada por:

360 = πR²
60       x 

360x = 60πR²

x = 60πR²
      360

x = πR²
     6

Nesse caso, x é a área apenas de um dos três setores circulares. A área dos três pode ser obtida pela multiplicação desse resultado por 3:

A = 3πR²
      6

A = πR²
      2

Por outro lado, a área da piscina retangular é:

A₂ = 50·24 = 1200 m².

Logo, para que a área da piscina nova seja menor que a área da piscina antiga, basta que:

A₂ > πR²
       2

1200 > 3,0R²
           2

Resolvendo a inequação, teremos:

2·1200 > 3R²

2400 > R²
3        

800 > R²

√800 > √R²

28,28 > R

Como ficou claro que R é um número natural e deve ser o maior possível, R = 28.

Gabarito: letra B.

Note que, além de conhecer a área do círculo, também é necessário saber utilizar regra de três, calcular área do retângulo, compreender o problema para comparar as duas áreas, resolver inequações e, novamente, compreender o problema para interpretar o resultado.

Volumes

Para os cálculos envolvendo volumes, também é necessário conhecer as fórmulas básicas de volumes de sólidos geométricos, em especial:

• Volume do paralelepípedo;

• Volume do cilindro;

• Volume do cone;

• Volume da pirâmide.

Assim como as questões sobre áreas, os problemas envolvendo volumes dependem de outros conhecimentos matemáticos básicos. Observe o exemplo de questão sobre volume em que as alternativas são gráficos de uma função que relaciona o tempo de escoamento de água à sua altura em um tanque.

(ENEM-2014) Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.

No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água para dentro dela com vazão constante.

O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é

Solução:

Primeiramente, as figuras possuem a mesma altura. Como os troncos de cone possuem uma base maior que a do cilindro, elas se encherão mais lentamente. Basta observar a imagem da vista frontal da escultura para perceber isso.

Assim, observe que todas as alternativas relacionam a altura da água com o tempo em que a torneira ficou aberta, com o tempo no eixo horizontal e a altura da água no eixo vertical. Portanto, observe:

1 – O primeiro a ser cheio será o tronco do cone, a partir da parte mais larga, o que fará com que a altura cresça pouco em muito tempo. Logo, a linha do gráfico será mais para a direita do que para cima;

2 – O segundo a ser cheio será o cilindro. Como ele é “mais linear”, a água subirá proporcionalmente ao tempo. Logo, a linha do gráfico será linear;

3 – O último a ser cheio será o tronco do cone, a partir da parte menos larga, o que fará com que, no início, a água suba rapidamente, mas depois gaste mais tempo para aumentar de altura. Logo, a linha do gráfico será mais puxada para cima do que para a direita.

O único gráfico que respeita essas três condições é o da letra D.