Geometria Analítica

Geometria Analítica é a área da Matemática que estuda as estruturas geométricas sob uma perspectiva algébrica. Seus estudos são usados em contextos que envolvem coordenadas.

A Geometria Analítica estuda os objetos geométricos sob uma perspectiva algébrica.

A Geometria Analítica é o campo da Matemática que estuda a Geometria associada à Álgebra. Nessa abordagem, os objetos geométricos são relacionados a sistemas de coordenadas e equações que são analisadas algebricamente. Essa interação expande as possibilidades e os resultados da Geometria Plana e Espacial, permitindo a exploração de novas ferramentas matemáticas.

Resumo sobre Geometria Analítica

Geometria Analítica é o tratamento algébrico para estudo da Geometria Plana e Espacial.
Os elementos geométricos são associados a pontos no espaço cartesiano e as distâncias são determinadas pelas respectivas coordenadas.
O estudo de vetores é essencial para a compreensão de diversos conceitos de Geometria Analítica, além de ser fundamental em outras áreas do conhecimento, como a Física e a Astronomia.
As fórmulas de distância entre pontos e as equações da reta são expressões muito utilizadas na Geometria Analítica.

O que a Geometria Analítica estuda?

Os conceitos, elementos, formas, figuras, sólidos e propriedades estudados tradicionalmente na Geometria Plana e na Geometria Espacial também são objetos de estudo da Geometria Analítica. A diferença é que a Geometria Analítica adota um método algébrico, com maior destaque para as expressões (principalmente equações) do que para os desenhos.

Principais conceitos da Geometria Analítica

Vejamos alguns dos principais conceitos trabalhados na Geometria Analítica.

Coordenadas cartesianas: a cada ponto do plano cartesiano é associado um par de coordenadas (x,y) que indicam a localização desse ponto. No espaço tridimensional, tem-se (x,y,z).
Vetores: segmentos orientados representados por flechas no plano cartesiano ou no espaço.
Equação da reta: expressão algébrica que descreve todos os pontos (x,y) que pertencem a uma reta.
Equação da circunferência: expressão algébrica que descreve todos os pontos (x,y) que pertencem a uma circunferência, ou seja, que estão a uma distância fixa de um ponto central.
Cônicas: as formas geométricas obtidas pela interseção de um plano com um duplo cone de revolução. Além da circunferência, temos a elipse, a hipérbole e a parábola. Saiba mais sobre as cônicas clicando aqui.

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos

Principais fórmulas da Geometria Analítica

Vamos conhecer algumas das principais fórmulas da Geometria Analítica.

Distância entre dois pontos

Dados dois pontos e , a distância entre A e B é dada por:

Equação geral da reta

Os pontos (x,y) que pertencem a uma reta r devem satisfazer a equação:

Em que a, b e c são constantes reais. Saiba mais sobre esse tópico clicando aqui.

Distância entre ponto e reta

Dado um ponto P = (x₀,y₀) e uma reta r de equação ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada por:

Equação reduzida da circunferência

Os pontos (x,y) que pertencem a uma circunferência c devem satisfazer a equação:

Em que (a,b) é o centro da circunferência e r é o raio.

Aplicações da Geometria Analítica no cotidiano

A Geometria Analítica é aplicada em contextos que utilizam coordenadas. Alguns exemplos são:

projetos de construção civil;
funcionamento de um GPS;
modelagem de objetos 3D na computação gráfica;
estudo de movimentos na Física;
análises topográficas, cartográficas e astronômicas.

Diferenças entre Geometria Analítica e Álgebra Linear

A Geometria Analítica utiliza ferramentas da Álgebra Linear para obter informações e resultados sobre objetos geométricos. Já o foco da Álgebra Linear é a generalização de conceitos, estruturas e processos algébricos, como a solução de sistemas de equações. As matrizes e os vetores são exemplos de temas importantes de estudo da Álgebra Linear.

Saiba mais: Expressões algébricas — o que são, tipos, exemplos e exercícios

Exercícios resolvidos sobre Geometria Analítica

Questão 1

Qual a distância em os pontos A=(1,5) e B=(4,1)?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Resolução

Aplicando a fórmula , temos que:

Alternativa D

Questão 2

Uma circunferência que passa pelo ponto (4,3) é descrita pela equação . Qual o raio dessa circunferência?

a) 3

b) 6

c) 9

d) 12

e) 15

Resolução

Comparando a equação dada com a equação reduzida da circunferência , temos que o ponto (4,0) é o centro e o raio é 3 (pois 3²= 9).

Alternativa A

Fontes

BOULOS, P.; CAMARGO; I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed. São Paulo: Pearson, 2006.

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

Publicado por Maria Luiza Alves Rizzo

Artigos de Geometria Analítica

Ângulo entre dois vetores

Clique para aprender a calcular o ângulo entre dois vetores!

Ângulo formado entre duas retas

Como determinar a medida do ângulo entre duas retas

Área de um quadrilátero na geometria analítica

Saiba como calcular a área de um quadrilátero no plano cartesiano

As bissetrizes dos quadrantes

Geometria analítica, ponto, pares ordenados, abscissas, ordenadas, Coeficiente angular, bissetriz de um ângulo, bissetriz de um quadrante, quadrante par, quadrante ímpar, Bissetriz do quadrante par, bissetriz do quadrante ímpar.

Baricentro de um triângulo

Entenda o que é o baricentro de um triângulo e aprenda como encontrá-lo quando representado no plano cartesiano. Resolva as questões referentes ao tema.

Cálculo do coeficiente angular

ângulo, reta, condição de existência da reta, pontos, plano cartesiano, tangente, inclinação da reta, como encontrar a inclinação da reta, coeficiente angular, tangente do ângulo, cálculo do coeficiente angular.

Condição de Alinhamento de Três Pontos

Verificando a condição de alinhamento de três pontos.

Cônicas

Aprenda o que são cônicas, figuras geométricas formadas pela intersecção de um plano com um cone de revolução. Descubra também quais são as figuras elipse, hipérbole e parábola. Conheça ainda as equações reduzidas de cada uma das cônicas nos casos em que os focos estejam sobre o eixo x ou no eixo y.

Distância entre dois pontos

Entenda qual é o segmento que representa a distância entre dois pontos no plano cartesiano e conheça sua fórmula para calcular essa distância.

Distância entre dois pontos no espaço

Clique para aprender a calcular a distância entre dois pontos no espaço e o modo como ela é obtida pelo Teorema de Pitágoras!

Distância entre ponto e reta

Distância entre ponto e reta, reta, ponto, equação geral da reta, fórmula da distância entre ponto e reta, Equação fundamental, Distância entre dois pontos, coeficientes de uma reta.

Elipse

Aprenda o que é uma elipse e saiba quais são seus elementos. Veja qual é a equação dessa figura assim como sua fórmula para o cálculo da área.

Equação fundamental da reta

Ponto, reta, plano cartesiano, coeficiente angular, equação fundamental da reta, como encontrar a equação fundamental da reta, o que é equação fundamental da reta, demonstração da equação fundamental da reta.

Equação geral da circunferência

Conheça a equação geral da circunferência e aprenda a encontrá-la a partir do gráfico. Confira ainda exercícios resolvidos sobre o tema!

Equação geral da reta

Conheça a equação geral da reta e aprenda a representá-la graficamente. Confira ainda exercícios resolvidos sobre o assunto.

Equação geral de retas perpendiculares

Calculando a equação de retas perpendiculares por meio da equação geral da reta e dos coeficientes angulares das retas perpendiculares.

Equação reduzida da circunferência

Clique aqui e aprenda como determinar a equação reduzida de uma circunferência, utilizada para representar a circunferência algebricamente.

Equação reduzida da reta

Conheça a equação reduzida da reta, aprenda a encontrá-la, bem como entenda o que é o coeficiente linear e o que é o coeficiente angular.

Equações paramétricas

equações, equação geral da reta, forma geral da reta, equações paramétricas da reta, formas paramétricas da reta, parâmetro, como formar as equações paramétricas de uma reta.

Generalidades sobre as equações da reta

Generalidades sobre as equações da reta, Forma geral da reta, equação geral da reta, Forma reduzida da reta, equação reduzida da reta, Forma paramétrica da reta, equação paramétrica da reta.

Hipérbole

Entenda o que é hipérbole e conheça suas principais propriedades. Aprenda sua equação geral e sua equação reduzida.

Inclinação e coeficiente angular de uma reta

ângulo, reta, condição de existência da reta, pontos, plano cartesiano, tangente, inclinação da reta, como encontrar a inclinação da reta, coeficiente angular, tangente do ângulo

Interseção de reta e circunferência

distância entre ponto e reta, Posições relativas entre uma reta e uma circunferência, circunferência, reta, reta externa à circunferência, reta interna à circunferência, reta secante à circunferência.

Intersecção de retas concorrentes

Equação da reta, equação geral da reta, intersecção da reta, como identificar a intersecção da reta, ponto, ponto de intersecção de duas retas, retas concorrentes.

Interseções entre uma reta e uma parábola

Clique e aprenda o que são as interseções entre uma reta e uma parábola e conheça uma maneira de encontrar as coordenadas referentes a esses pontos.

Norma ou módulo de um vetor

Clique para aprender o que é a norma ou módulo de um vetor e como o seu cálculo é realizado!

O que é geometria analítica?

Descubra o que é geometria analítica e entenda como os processos algébricos são utilizados nessa disciplina para estudar a geometria.

Obtendo uma reta tangente conhecendo um ponto e a circunferência

Problemas envolvendo a tangência de uma reta em relação a uma circunferência. Obtendo a equação de retas tangentes através de um ponto.

Parábolas

Clique e aprenda o que são parábolas para a Geometria Analítica, conheça seus elementos e saiba encontrar as equações reduzidas dessa figura.

Pares e ternos ordenados

Clique para aprender o que são pares e ternos ordenados e saiba como esses conjuntos numéricos podem ser usados para definir localizações no espaço.

Ponto médio de um segmento de reta

Veja como determinar o ponto médio de um segmento de reta.

Posição relativa entre duas circunferências

circunferências tangentes, secantes, externas, internas e concêntricas

Posição relativa entre ponto e circunferência

distância entre dois pontos, distância entre ponto e reta, Posições relativas entre um ponto e uma circunferência, circunferência, reta, ponto comparado à circunferência, ponto externo à circunferência, ponto interno à circunferência, ponto pertencente à circunferência.

Posições relativas de duas retas

Retas, retas paralelas, retas concorrentes, o que são retas paralelas, o que são retas concorrentes, Posições relativas de duas retas, coeficiente angular de retas paralelas, coeficiente angular de retas concorrentes.

Produto interno entre dois vetores

Clique para aprender o produto interno entre dois vetores, suas propriedades e a relação entre produto interno e ângulo de vetores!

Reconhecendo uma circunferência

Equação, equação reduzida da circunferência, circunferência, distância entre dois pontos, pontos genéricos, Pontos genéricos de uma circunferência, raio da circunferência, equação normal da circunferência, coeficientes iguais e diferentes de zero, Reconhecendo uma circunferência.

Retas perpendiculares

Clique aqui para entender o que são retas perpendiculares. Saiba como identificar duas retas perpendiculares a partir de suas equações reduzidas.

Retas verticais e horizontais

Geometria analítica, ponto, pares ordenados, abscissas, ordenadas, Coeficiente angular, equação da reta horizontal, equação da reta vertical, reta vertical, reta horizontal.

Matemática

Função Seno com Geogebra

Nesta aula utilizaremos o software gratuito geogebra para mostrar as possíveis variações da função seno. Analisaremos o eixo central, a amplitude, o máximo e mínimo, a imagem e o período da função seno.