Geometria de posição e poliedros

Geometria de posição é a área da Matemática que estuda as posições relativas entre formas geométricas presentes no espaço. As principais noções que colocam esse estudo em movimento são as de forma, tamanho e posição.

Essas noções são primitivas e, por isso, não possuem definição. De qualquer modo, a forma está ligada ao modo como um objeto ocupa o espaço; o tamanho está ligado à quantidade de espaço que esse objeto ocupa; e a posição faz referência à localização do objeto no espaço.

Outras noções que dispensam definição na Geometria de posição são as de ponto, reta, plano e espaço. Ponto não possui definição, contudo, sua natureza é: um objeto que representa uma localização no espaço. Um conjunto de pontos alinhados e ininterruptos é o que conhecemos como reta. Retas também não possuem definição formal, exceto pela ideia que se possui a respeito delas em virtude de suas representações geométricas e suas propriedades. O mesmo ocorre com plano e espaço.

Os poliedros, por sua vez, são sólidos geométricos pertencentes ao espaço tridimensional que são limitados por partes de planos. Esses sólidos, possuidores de forma, tamanho e ocupantes de determinada posição no espaço, também são objeto de estudo da geometria de posição.

Breve histórico da Geometria de Posição

A geometria de posição nasceu muitos séculos antes de Cristo, junto à geometria plana. Civilizações mesopotâmicas desenvolveram conhecimentos geométricos entre os anos de 2500 a.C. e 600 a.C., mesmo período em que os egípcios utilizavam geometria para as mais variadas funções: desde demarcar terrenos agrícolas até a construção das pirâmides.

Após esse período, com a ascensão da Grécia como “capital da sabedoria”, houve grandes avanços no desenvolvimento da geometria. Tales de Mileto (624-548 a.C.) e Pitágoras (580-500 a.C.) demonstraram o que conhecemos hoje como Teorema de Tales e Teorema de pitágoras, entre outros.

Um dos maiores nomes da geometria plana, espacial e de posição é Euclides (320-270 a.C.). Esse homem sistematizou toda a geometria de sua época em uma obra chamada “Os Elementos”. Essa obra é uma coletânea de treze livros, dos quais dez relacionam-se à geometria e três, à teoria dos números. Além disso, Euclides demonstrou vários dos resultados presentes nessa obra. Alguns desses resultados foram demonstrados mais de uma vez, mas de maneiras diferentes.

As bases da geometria de posição

Toda a geometria é baseada em regras que devem ser aceitas como verdadeiras sem necessidade de uma demonstração, chamadas de postulados ou axiomas; nas definições dos objetos que ocupam esse espaço e nas propriedades decorrentes do estudo desses objetos, postulados e suas interações.

Hoje os postulados são organizados da seguinte maneira:

Postulados de existência:

P1 – Existem infinitos pontos;

P2 – Existem infinitas retas. Em cada reta, assim como fora dela, existem infinitos pontos;

P3 – Existem infinitos planos. Em cada plano, assim como fora dele, existem infinitos pontos.

Postulados de determinação:

D4 – Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles;

D5 – Três pontos não colineares determinam um único plano.

Postulado da inclusão:

I6 – Se uma reta contém dois pontos distintos de um plano, então, essa reta está contida nesse plano.

Postulado da separação da reta:

S7 – Um ponto qualquer pertencente a uma reta separa essa reta em duas partes. Esse ponto pertence a essas duas partes da reta.

Observação: esse postulado pode ser expandido para os casos de separação do plano e do espaço.

Postulado das paralelas (quinto postulado de Euclides):

Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada.

Esse último postulado é o que diferencia a Geometria Euclidiana Clássica (Geometria Plana e Espacial) de outras Geometrias Modernas criadas a partir do século XVII.

Unindo esses postulados às definições de formas e sólidos geométricos, é possível construir toda a Geometria Plana e Espacial, bem como a Geometria de Posição, do modo como a conhecemos hoje em dia.

O que estuda a Geometria de Posição?

A Geometria de Posições ocupa-se dos estudos referentes às posições relativas entre objetos matemáticos, formas e sólidos geométricos.

1 – Posição relativa entre duas retas: que classifica as retas como coincidentes, concorrentes, paralelas ou reversas;

2 – Posição relativa entre retas e planos: uma reta pode estar contida em um plano, ser secante a um plano ou paralela a um plano;

3 – Posição relativa entre planos: dois planos podem ser coincidentes, secantes ou paralelos;

4 – Distância entre dois pontos: comprimento da linha reta que os liga;

5 – Distâncias entre ponto e reta, entre ponto e plano, entre reta e plano, entre plano e plano etc., definidas como a menor distância entre os objetos observados;

5 – Ângulo entre duas retas, entre reta e plano, entre plano e plano etc.;

6 – Perpendicularidade: estuda os casos em que retas e planos formam ângulo de 90°;

7 – Paralelismo: estuda os casos em que retas e planos não possuem nenhum ponto em comum;

8 – Definições básicas de poliedros: o que são poliedros e os elementos que os compõem;

9 – Propriedades básicas de poliedros: Relações básicas que podem ser construídas a partir de definições e resultados envolvendo poliedros. Por exemplo: Relação de Euler;

10 – Poliedros notáveis: alguns casos de poliedros que possuem propriedades especiais que os destacam entre os outros.

11 – Classificação de poliedros: poliedros podem ser retos, oblíquos, paralelepípedos etc.

12 – Área e volume de poliedros.