Trigonometria

A trigonometria é uma área da geometria plana euclidiana que analisa a relação existente entre os ângulos de um triângulo e o comprimento dos seus lados. As razões trigonométricas principais são o seno, o cosseno e a tangente. É possível também encontrar o valor dessas razões trigonométricas por meio de representação no ciclo trigonométrico, que permite encontrar o valor de cada uma das razões em função do ângulo, o que torna possível também tratar as razões trigonométricas como funções.

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O que é trigonometria?

Ao longo dos estudos da geometria plana, o triângulo sempre chamou bastante a atenção desde os primeiros estudos matemáticos. Graças ao aprofundamento do estudo dos triângulos, foi desenvolvida a trigonometria, que é a área da Matemática que se volta para a relação entre as medidas dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo.

A razão entre dois lados de um triângulo sempre será proporcional ao ângulo. Essa constatação possibilitou o desenvolvimento das razões trigonométricas, inicialmente em triângulos retângulos, mas depois para triângulos quaisquer. A trigonometria auxiliou o avanço da ciência, sendo aplicada no estudo de movimentos da Física, no estudo dos astros, em navegações, entre outras situações.

Trigonometria no triângulo retângulo

A trigonometria foi desenvolvida inicialmente para triângulos retângulos. Analisando a proporção entre os lados de um triângulo desse tipo, é possível definir o que conhecemos como razões trigonométricas. São elas o seno, o cosseno e a tangente.

Dado um triângulo retângulo, conhecemos como hipotenusa o seu maior lado, que está sempre oposto ao ângulo de 90º. Os outros lados são chamados de catetos. Para calcular o seno, o cosseno ou a tangente, é necessário utilizar um ângulo como referência, por isso os catetos são chamados de cateto oposto (o lado que está de frente para o ângulo) e cateto adjacente (o lado que forma o ângulo junto à hipotenusa).

Analisando o triângulo retângulo, antes de saber quais são as razões trigonométricas, é importante conseguir identificar cada um dos lados de acordo com o ângulo. Por exemplo, nesse triângulo, a hipotenusa é o lado c, que está oposto ao ângulo de 90º.

Agora analisando a partir do ângulo ꞵ, temos que o lado representado por b é o lado oposto ao ângulo, ou seja, ele é o cateto oposto de ꞵ. Já o lado representado por a é o cateto adjacente a ꞵ. Por outro lado, quando mudamos o referencial, ao analisar a partir do ângulo ɑ, o cateto oposto a ele é representado por a e o cateto adjacente a ɑ é o cateto representado pela letra b.

A partir dos lados do triângulo, temos que:

Veja também: Transformações trigonométricas: fórmulas de adição

Ângulos notáveis

Além de conhecer as razões trigonométricas, existem os chamados ângulos notáveis. Esses ângulos são os que mais aparecem na resolução de problemas em provas e vestibulares. Eles são os ângulos de 30º, 45º e 60º. Para conhecer o valor do seno e do cosseno de cada um deles, utilizamos a seguinte tabela:

Círculo trigonométrico

Avançando um pouco mais, foi desenvolvida também a trigonometria no círculo trigonométrico, conhecido também como ciclo trigonométrico. A partir desse estudo, é possível encontrar o valor do seno, cosseno e tangente de vários ângulos. O círculo é construído no plano cartesiano e possui raio 1. No eixo vertical, encontramos o valor referente ao seno do ângulo e, no eixo horizontal, o valor do cosseno. O eixo paralelo ao eixo vertical é o eixo da tangente.

A partir do ciclo trigonométrico, conseguimos definir as funções trigonométricas, que utilizamos em problemas envolvendo essas razões.

Funções trigonométricas

O trabalho com variáveis é de grande importância na Matemática. Pensando nas principais razões trigonométricas, temos a função seno e a função cosseno. Essas funções são bastante comuns no estudo da mecânica, na construção civil e em estudos aprofundados na Matemática. Auxiliam na análise a variação do ângulo e o seu comportamento.

→ Função seno

Seja x um número real, a função seno possui lei de formação igual a f(x) = sen(x) R → R. O gráfico da função seno é o que conhecemos como senoide ou gráfico senoidal. É importante perceber que ele é o que chamamos de cíclico, pois os valores do seno estão sempre entre 1 e -1 e se repetem de forma cíclica, o que faz o senoide ter esse formato de ondas.

→ Função cosseno

Ela tem um comportamento bastante parecido com o da função seno, gerando um gráfico também cíclico, com imagem entre 1 e -1. Definimos como função cosseno aquela que a lei de formação é f(x) = cos (x).

Acesse também: Transformações trigonométricas: fórmulas de multiplicação

Identidades trigonométricas

As identidades trigonométricas são relações existentes entre as razões trigonométricas. Durante a resolução de problemas, é bastante comum utilizarmos essas identidades para facilitar os cálculos. Existem várias identidades trigonométricas, mas as principais são as seguintes.

• Relação fundamental da trigonometria:

sen²x + cos² x = 1

• Funções inversas:

• Identidades relacionadas à simetria:

sen ( -x) = - sen (x)

cos (- x) = cos (x)

tan (-x) = - tan (x)

• Seno e cosseno da soma ou da diferença entre dois ângulos:

sen (x + y) = senx · cosy + cosx · seny

sen (x - y) = senx · cosy - cosx · seny

cos (x + y) = cosx · cosy – senx · seny

cos (x - y) = cosx · cosy + senx · seny

• Tangente da soma ou da diferença entre dois ângulos:

Usos da trigonometria

A trigonometria tem várias aplicações na Física e Matemática. Existem várias situações da cinética em que se utilizam vetores que formam triângulos, sendo necessária a aplicação da trigonometria.

As funções trigonométricas podem ser aplicadas em situações que se comportam como ondas, mas também possui aplicações na arquitetura, programação, construção civil, astronomia e em situações em que é necessário encontrar alturas inacessíveis. O domínio da trigonometria é essencial para compreender conceitos avançados da Matemática.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (IFG) Considere o triângulo retângulo ABC abaixo:

Com base no triângulo assinale a alternativa correta:

A) A área do triângulo ABC é 18√3 cm².

B) A medida do cateto AC é 8√3 cm.

C) A medida da hipotenusa é 10 cm.

D) A razão entre a medida do cateto AB e o cateto AC é √3/2

E) O perímetro do triângulo ABC é 6 (1+√3) cm.

Resolução

Alternativa A.

Analisando todas as alternativas, é possível ver que, em todas, exceto na b, é necessário calcular o valor do lado AC. Para isso, utilizaremos a razão tangente, que relaciona o cateto oposto ao ângulo de 30º com o cateto adjacente a ele.

Agora, consultando a tabela para obter o valor da tangente de 30º, temos que:

Por eliminação, vamos verificar a alternativa a, ou seja, se a área é igual a 18√3.

Sabemos que a área do triângulo é o produto da base pela altura dividido por 2.

Questão 2 – (IFG) Um barco atravessa um rio em um trecho onde a largura é 50 m, seguindo uma direção que forma um ângulo de 30º com a margem de onde parte (veja figura abaixo).

A distância percorrida pelo barco é:

A) 75 m

B) 80 m

C) 60 m

D) 100 m

E) 120 m

Resolução

Alternativa D.

Analisando a imagem, queremos a distância pontilhada entre as margens. Essa distância é a hipotenusa do triângulo e conhecemos o valor do cateto oposto (de frente) ao ângulo. Sendo assim, a razão trigonométrica que relaciona cateto oposto e hipotenusa é o seno. Usando o seno, temos que: